Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）+x²+2x，曲線y=f（x）經(jīng)過點P（0，1），且在點P處的切線為l：y=4x+1．
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若存在實數(shù)k，使得x∈[-2，-1]時f（x）≥x²+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線的斜率，以及函數(shù)值得到

f′(0)=4 f(0)=1

，即可求a，b的值；
（Ⅱ）x∈[-2，-1]，f（x）≥x²+2（k+1）x+k恒成立，推出k的表達式，構造函數(shù)求解函數(shù)的導數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求出區(qū)間上的最值，即可求k的取值范圍．

解答： 解：（ I）f'（x）=e^x（ax+a+b）+2x+2…（2分）
依題意，

f′(0)=4 f(0)=1

，即

a+b+2=4 b=1

，解得

a=1 b=1

．…（4分）
（ II）由f（x）≥x²+2（k+1）x+k得：e^x（x+1）≥k（2x+1）．
∵x∈[-2，-1]時，2x+1＜0，
∴f（x）≥x²+2（k+1）x+k即e^x（x+1）≥k（2x+1）恒成立，
當且僅當k≥

ex(x+1)

2x+1

…（6分）
設g(x)=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，g′(x)=

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

由g'（x）=0得x=0(舍去)，x=-

3

2

…（8分）
當x∈(-2，-

3

2

)時，g′(x)＞0；
當x∈(-

3

2

，-1)時，g′(x)＜0∴g(x)=

ex(x+1)

2x+1

在區(qū)間[-2，-1]上的最大值為：g(-

3

2

)=

1

4

e-

3

2

…（10分）
所以常數(shù)k的取值范圍為[

1

4

e-

3

2

，+∞)…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，切線方程，閉區(qū)間是函數(shù)的最值的求法，構造法的應用，難度比較大，是高考�？碱}型．