Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

ax+1

（a＞0，且a≠1），[m]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，則函數(shù)[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分離函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的值域是（0，1），再根據(jù)f（x）-

1

2

與f（x）+

1

2

的范圍即可．

解答： 解：∵f（x）=

ax

ax+1

=1-

1

ax+1

，∴f（x）-

1

2

=

1

2

-

1

ax+1

，f（x）+

1

2

=

3

2

-

1

ax+1

．
∵a^x+1＞1，∴0＜

1

ax+1

＜1，下面分類討論：
（1）當(dāng)0＜

1

ax+1

＜

1

2

時(shí)，0＜

1

2

-

1

ax+1

＜1，即0＜f（x）-

1

2

＜1，）∵[m]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)
∴[f（x）-

1

2

]=0，∴1＜

3

2

-

1

ax+1

＜

3

2

，∴[f（x）+

1

2

]=1，∴[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]=1．
（2）當(dāng)

1

ax+1

=

1

2

，

1

2

-

1

ax+1

=0，

3

2

-

1

ax+1

=1，∴[f（x）-

1

2

]=0，∴[f（x）+

1

2

]=1．
∴[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]=1．
（3）當(dāng)

1

2

＜

1

ax+1

＜1時(shí)，∴0＜

3

2

-

1

ax+1

＜1∴-1＜

1

2

-

1

ax+1

＜0，
∴[f（x）-

1

2

]=-1，∴[f（x）+

1

2

]=0，∴[f（x）-

1

2

]+[f（x）+

1

2

]=-1，故函數(shù)的值域是{-1，1}
故答案為：{-1，1}

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．