Question

是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)u（x）=ax²-x，顯然二次函數(shù)u的對稱軸為x=

1

2a

．分當(dāng)a＞1時和當(dāng)0＜a＜1 兩種情況，分別利用二次
函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、以及對數(shù)函數(shù)的定義域，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)u（x）=ax²-x，顯然二次函數(shù)u的對稱軸為x=

1

2a

．
①當(dāng)a＞1時，要使函數(shù)f（x）在[2，4]上為增函數(shù)，則u（x）=ax²-x 在[2，4]上為增函數(shù)，
故應(yīng)有

1 2a ≤2 u(2)=4a-2＞0

，解得 a＞

1

2

．…（6分）
綜合可得，a＞1．…（7分）
②當(dāng)0＜a＜1 時，要使函數(shù)f（x）在[2，4]上為增函數(shù)，則u（x）=ax²-x 在[2，4]上為減函數(shù)，
應(yīng)有

1 2a ≥4 u(4)=16a-4＞0

，解得a∈∅．…（14分）
綜上，a＞1時，函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x）在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)．…（16分）

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分了討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．