Question

19．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，則△PAC的面積與△ABC的面積之比等于$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，延長(zhǎng)AP交BC于D，則$\frac{5}{3}\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，從而可以得到D是BC邊的三等分點(diǎn)，且CD=$\frac{2}{3}$CB，即可得出．

解答 解：∵5$\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
延長(zhǎng)AP交BC于D，則$\frac{5}{3}\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，
從而可以得到D是BC邊的三等分點(diǎn)，且CD=$\frac{2}{3}$CB，
設(shè)點(diǎn)B到邊AC的距離為d，則點(diǎn)P到邊AC的距離為$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$d=$\frac{2}{5}$d，
所以△PAC的面積與△ABC的面積之比為$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量線(xiàn)性運(yùn)算法則、向量共線(xiàn)定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．