Question

7．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，其中M，P分別是函數(shù)f（x）的圖象與坐標軸的交點，N是函數(shù)f（x）的圖象的一個最低點，若點N，P的橫坐標分別為$\frac{5π}{8}$，$\frac{11π}{8}$，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2$\sqrt{2}$，則下列說法正確的個數(shù)為（　�。�
①A=±2；
②函數(shù)f（x）在[$\frac{9π}{4}$，$\frac{21π}{8}$]上單調遞減；
③要得到函數(shù)f（x）的圖象，只需將函數(shù)y=4sinxcosx的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由周期求得ω，由五點法作圖求出φ的值，再利用$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2$\sqrt{2}$以及兩個向量的數(shù)量積的定義，求得A，可得函數(shù)f（x）的解析式，從而得出結論．

解答 解：結合函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，
根據(jù)點N，P的橫坐標分別為$\frac{5π}{8}$，$\frac{11π}{8}$，可得$\frac{3T}{4}$=$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{11π}{8}$-$\frac{5π}{8}$，求得ω=2，f（x）=Acos（2x+φ）．
①假設A＞0，再根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{5π}{8}$+φ=π，求得φ=-$\frac{π}{4}$，∴f（x）=Acos（2x-$\frac{π}{4}$）．
故M（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$A），N（$\frac{5π}{8}$，-A）．
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•A²=-2$\sqrt{2}$，∴A=2，f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{4}$）．
當x∈[$\frac{9π}{4}$，$\frac{21π}{8}$]時，2x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{17π}{4}$，5π]，滿足f（x）單調遞減，故②正確．
要得到函數(shù)f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{4}$）的圖象，只需將函數(shù)y=4sinxcosx=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位，
故③不正確．
②若a＜0，根據(jù)函數(shù)的可得2•$\frac{5π}{8}$+φ=2π，k∈Z，求得 φ=$\frac{3π}{4}$，不滿足|φ|＜$\frac{π}{2}$，故①不正確，
綜上可得，只有②正確，
故選：B．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，再利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得A，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．