Question

7．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在鈍角△ABC，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f（B）=1，若b=$\sqrt{13}$，c=4，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合范圍0＜B＜π，可得$\frac{π}{6}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，從而解得B=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得a²-4a+3=0，解得a=1或3．由△ABC為鈍角三角形，C為鈍角，可得a=1滿足題意，即可得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx$）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），…4分
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z…7分
（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜B＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得B=$\frac{π}{3}$，…9分
∵b²=a²+c²-2accosB，即13=a²+16-4a，整理可得：a²-4a+3=0，
∴解得：a=1或3…12分
∵△ABC為鈍角三角形，
∴C為鈍角，經(jīng)檢驗(yàn)：a=1滿足題意…14分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，解題時(shí)要注意一定要驗(yàn)根，屬于中檔題．