Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）圖象向右平移

π

12

個單位，再將周期擴大為原來的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）-a=0在x∈[

π

2

，2π]上有且只有一個實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角公式降冪，化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用三角函數(shù)的圖象平移得到函數(shù)g（x）的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2
=

3

sin2x+cos2x-1+2=2sin(2x+

π

6

)+1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2x+

π

2

，得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
（2）將f（x）圖象向右平移

π

12

個單位，再將周期擴大為原來的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，
則g（x）=2sinx+1，作出g（x）在x∈[

π

2

，2π]上圖象后數(shù)形結(jié)合可得a∈（1，3]∪{-1}．

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的倍角公式及兩角和的正弦，考查了三角函數(shù)的圖象平移，是中檔題．