Question

11．已知向量$\overrightarrow a=（1，1），\overrightarrow b=（1，0），\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow a•\overrightarrow c=0$且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow c|，\overrightarrow b•\overrightarrow c＞0$．
（1）求向量$\overrightarrow c$；
（2）若$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow c$，點(diǎn)P（x，4）在線段AC的垂直平分線上，求x的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），根據(jù)條件列出方程組解出即可；
（2）求出AC的中點(diǎn)坐標(biāo)D，根據(jù)$\overrightarrow{PD}⊥\overrightarrow{AC}$列方程解出x．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=x+y，$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-1，∴$\overrightarrow{c}$=（1，-1）．
（2）∵$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}=（1，1）$，$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{c}=（3，-3）$，
∴A（1，1），C（3，-3），
設(shè)AC的中點(diǎn)為D，則D（2，-1），
∴$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OP}$=（2-x，-5），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（2，-4），
∵P（x，4）在線段AC的垂直平分線上，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PD}=0$，即2（2-x）+20=0，
解得：x=12．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于中檔題．