Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx有極小值1+ln2
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=3x-3lnx-1-f（x），討論g（x）單調(diào)性；
（Ⅲ）若0＜x₁＜x₂，求證：$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$＜2x₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）=ax-lnx有極小值1+ln2
求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=3x-3lnx-1-f（x），利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）由（II）可知g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，g（x）＞g（1）=0恒成立，由此證明：$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$＜2x₂．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e），無極值；
當(dāng)a＞0時，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=0，x=$\frac{1}{a}$，
f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴x=$\frac{1}{a}$時，函數(shù)取得極小值1+ln2=1-ln$\frac{1}{a}$，∴a=2；
（Ⅱ）解：g（x）=3x-3lnx-1-f（x）=x-2lnx-1，定義域為（0，+∞），g′（x）=$\frac{x-2}{x}$，
∴g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；
（Ⅲ）證明：由（II）可知g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g（x）＞g（1）=0恒成立，即x-2lnx-1＞0，x-1＞2lnx①
∵0＜x₁＜x₂，∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
∴①化為$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-1＞2ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2（lnx₁-lnx₂），
∵lnx₁＜lnx₂，∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$＜2x₂．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．