Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（1）求證{a_n+3}是等比數(shù)列
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，則a₁=S₁=2a₁-3．求出a₁=3，由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），得S_n=2a_n-3n，兩式相減，推導(dǎo)出a_n+1+3=2（a_n+3），由此能證明{a_n+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由a_n+3=6×2^n-1，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由a_n=6×2^n-1-3，能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
∴令n=1，則a₁=S₁=2a₁-3．解得a₁=3，
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
兩式相減得，
a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，則a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
又a₁+3=6，
∴{a_n+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列．
解：（2）∵{a_n+3}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n+3=6×2^n-1，∴a_n=6×2^n-1-3．
（3）∵a_n=6×2^n-1-3．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=6×$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-3n=6×2ⁿ-3n-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．