Question

已知f（x）=（1+x）^α（1+

1

x

）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求證：（

α+β

x+y

）^α+β≤（

α

x

）^α•（

β

y

）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求證：（

α1+α2+…+αn

β1+β2+…+βn

）^{α1+α2+…+αn}≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)得f′（x）=

α(1+x)α+β-1

xβ-1

•(x-

β

α

)，從而可知x∈（

β

α

，+∞）時(shí)f′（x）＞0，x∈（0，

β

α

）時(shí)，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根據(jù)f（

β

α

）≤f（

y

x

），可得（

α+β

α

）^α•（

α+β

β

）^β≤（

x+y

x

）^α•（

x+y

y

）^β，從而得證；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=2時(shí)，由（2）可知（

α1+α2

β1+β2

）^α1+α2≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2，假設(shè)n=k時(shí)，成立，即（

α1+α2+…+αn

β1+β2…+βn

）^{α1+α2+…+αn}≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn，再證明當(dāng)n=k+1時(shí)也，成立．

解答：（1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1（1+

1

x

）^β+（1+x）^α•β（1+

1

x

）^β-1•（-1）•

1

x2

=

α(1+x)α+β-1

xβ-1

•(x-

β

α

)，
∵x∈（

β

α

，+∞）時(shí)f′（x）＞0，x∈（0，

β

α

）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）_max=f（

β

α

）=（

α+β

α

）^α（

α+β

β

）^β．
（2）證：∵f（

β

α

）≤f（

y

x

），∴（

α+β

α

）^α•（

α+β

β

）^β≤（

x+y

x

）^α•（

x+y

y

）^β，
即（

α+β

x+y

）^α+β≤（

α

x

）^α•（

β

y

）^β．
（3）當(dāng)n=2時(shí)，由（2）可知（

α1+α2

β1+β2

）^α1+α2≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2，
設(shè)n=k時(shí)，（

α1+α2+…+αn

β1+β2…+βn

）^{α1+α2+…+αn}≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn，
當(dāng)n=k+1時(shí)，（

α1+α2+…+αn+αn+1

β1+β2…+βn+βn+1

）^{α1+α2+…+αn+αn+1}
=[

(α1+α2+…+αn)+αn+1

(β1+β2…+βn)+βn+1

]^{（α1+α2+…+αn）+αn+1}
≤（

α1+α2+…+αn

β1+β2…+βn

）^{α1+α2+…+αn}•（

αn+1

βn+1

）^αn+1
≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn•（

αn+1

βn+1

）^αn+1．
所以，結(jié)論對(duì)一切n成立．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)與不等式的綜合，考查數(shù)學(xué)歸納法，有一定的綜合性．