Question

3．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是2⁰，接下來的兩項(xiàng)是2⁰，2¹，再接下來的三項(xiàng)是2⁰，2¹，2²，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（　�。�

• A． 440
• B． 330
• C． 220
• D． 110

Answer 1

分析 方法一：由數(shù)列的性質(zhì)，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，可知當(dāng)N為$\frac{n（n+1）}{2}$時(shí)（n∈N₊），數(shù)列{a_n}的前N項(xiàng)和為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，即為2ⁿ⁺¹-n-2，容易得到N＞100時(shí)，n≥14，分別判斷，即可求得該款軟件的激活碼；
方法二：由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n，及項(xiàng)數(shù)，由題意可知：2ⁿ⁺¹為2的整數(shù)冪．只需將-2-n消去即可，分別即可求得N的值．

解答 解：設(shè)該數(shù)列為{a_n}，設(shè)b_n=${a}_{\frac{（n-1）n}{2}+1}$+…+${a}_{\frac{n（n+1）}{2}}$=2ⁿ⁺¹-1，（n∈N₊），則$\sum_{i=1}^{n}_{i}$=$\sum_{i=1}^{\frac{n（n+1）}{2}}$a_i，
由題意可設(shè)數(shù)列{a_n}的前N項(xiàng)和為S_N，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ⁺¹-1=2ⁿ⁺¹-n-2，
可知當(dāng)N為$\frac{n（n+1）}{2}$時(shí)（n∈N₊），數(shù)列{a_n}的前N項(xiàng)和為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，即為2ⁿ⁺¹-n-2，
容易得到N＞100時(shí)，n≥14，
A項(xiàng)，由$\frac{29×30}{2}$=435，440=435+5，可知S₄₄₀=T₂₉+b₅=2³⁰-29-2+2⁵-1=2³⁰，故A項(xiàng)符合題意．
B項(xiàng)，仿上可知$\frac{25×26}{2}$=325，可知S₃₃₀=T₂₅+b₅=2²⁶-25-2+2⁵-1=2²⁶+4，顯然不為2的整數(shù)冪，故B項(xiàng)不符合題意．
C項(xiàng)，仿上可知$\frac{20×21}{2}$=210，可知S₂₂₀=T₂₀+b₁₀=2²¹-20-2+2¹⁰-1=2²¹+2¹⁰-23，顯然不為2的整數(shù)冪，故C項(xiàng)不符合題意．
D項(xiàng)，仿上可知$\frac{14×15}{2}$=105，可知S₁₁₀=T₁₄+b₅=2¹⁵-14-2+2⁵-1=2¹⁵+15，顯然不為2的整數(shù)冪，故D項(xiàng)不符合題意．
故選A．
方法二：由題意可知：$\underset{\underbrace{{2}^{0}}}{第一項(xiàng)}$，$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}}{第二項(xiàng)}$，$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}}{第三項(xiàng)}$，…$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}，…，{2}^{n-1}}{第n項(xiàng)}$，
根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：2¹-1，2²-1，2³-1，…，2ⁿ-1，
每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，…，n，
總共的項(xiàng)數(shù)為N=1+2+3+…+n=$\frac{（1+n）n}{2}$，
所有項(xiàng)數(shù)的和為S_n：2¹-1+2²-1+2³-1+…+2ⁿ-1=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n，
由題意可知：2ⁿ⁺¹為2的整數(shù)冪．只需將-2-n消去即可，
則①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，總共有$\frac{（1+1）×1}{2}$+2=3，不滿足N＞100，
②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，總共有$\frac{（1+5）×5}{2}$+3=18，不滿足N＞100，
③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，總共有$\frac{（1+13）×13}{2}$+4=95，不滿足N＞100，
④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，總共有$\frac{（1+29）×29}{2}$+5=440，滿足N＞100，
∴該款軟件的激活碼440．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于難題．