Question

11．已知數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，若不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$，對?n∈N^*恒成立，則實數λ的取值范圍（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 運用a₁=S₁，n＞1時，s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的關系，再由等差數列的定義和通項公式可得，a_n=（n+1）•2ⁿ，再求得S_n=n•2ⁿ⁺¹，再對n討論為偶數和奇數，運用數列的單調性，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：當n=1時，S₁=2a₁-2²得a₁=4．
S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1
又$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=2，
所以數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2為首項，1為公差的等差數列．
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+n-1，即a_n=（n+1）•2ⁿ，
S_n=2（n+1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹，
即有$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{n•{2}^{n+1}}{（n+1）•{2}^{n+2}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，
當n為偶數時，（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$，即為λ＜$\frac{n}{2（n+1）}$的最小值，
由$\frac{n}{2（n+1）}$=$\frac{1}{2（1+\frac{1}{n}）}$遞增，可得n=2時，取得最小值$\frac{1}{3}$，
則λ＜$\frac{1}{3}$；
當n為奇數時，即有-λ＜$\frac{n}{2（n+1）}$的最小值，
由n=1時，取得最小值，且為$\frac{1}{4}$，
解得λ＞-$\frac{1}{4}$，
綜上可得，λ的范圍是（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查了通項公式與前n項和公式的關系，等差數列的定義的應用．恒成立問題主要利用分離參數法轉化為求最值問題解決．