Question

2．已知A、B、C是直線l上的不同的三點(diǎn)，O是直線外一點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$．
（1）證明：A、B、C三點(diǎn)共線的條件是λ+μ=1
（2）若$\overrightarrow{OA}=（3x+1）•\overrightarrow{OB}+（\frac{3}{2+3x}-y）•\overrightarrow{OC}$成立．記y=f（x），求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意x∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)便有$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$，從而可以得到$\overrightarrow{OC}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$，這樣即可得出λ+μ=1；
（2）根據(jù)（1）便有$3x+1+\frac{3}{2+3x}-y=1$，從而可以解出y，這樣即可得出y=f（x）的解析式為f（x）=$3x+\frac{3}{2+3x}$；
（3）根據(jù)條件可以得到$a＜lnx-ln\frac{3}{2+3x}$或$a＞lnx+ln\frac{3}{2+3x}$在x$∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上恒成立，可設(shè)g（x）=$ln\frac{3{x}^{2}+2x}{3}，h（x）=ln\frac{3x}{2+3x}$，可以判斷g（x），h（x）在$[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上都是增函數(shù)，從而得出$a＜g（\frac{1}{6}），或a＞h（\frac{1}{3}）$，這樣便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：若A，B，C三點(diǎn)共線，則：
$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=k（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OC}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$；
又$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$；
∴λ+μ=1-k+k=1；
即λ+μ=1；
（2）∵A，B，C三點(diǎn)共線；
由（1）知，若$\overrightarrow{OA}=λ\overrightarrow{OB}+μ\overrightarrow{OC}$，則λ+μ=1；
∴由$\overrightarrow{OA}=（3x+1）•\overrightarrow{OB}+（\frac{3}{2+3x}-y）•\overrightarrow{OC}$得：
$3x+1+\frac{3}{2+3x}-y=1$；
∴$y=3x+\frac{3}{2+3x}$；
即$f（x）=3x+\frac{3}{2+3x}$；
（3）原不等式為$|a-lnx|-ln（\frac{3}{2+3x}）＞0$；
∴$a＜lnx-ln\frac{3}{2+3x}$，或$a＞lnx+ln\frac{3}{2+3x}$；
設(shè)$g（x）=lnx-ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{3{x}^{2}+2x}{3}$，$h（x）=lnx+ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{3x}{2+3x}$；
依題意知a＜g（x）或a＞h（x）在$x∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上恒成立；
g（x）與h（x）在$[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上都是增函數(shù)；
∴$g（\frac{1}{6}）=ln\frac{5}{36}$為g（x）在$[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上的最小值，$h（\frac{1}{3}）=ln\frac{1}{3}$為h（x）的最大值；
∴$a＜ln\frac{5}{36}$，或$a＞ln\frac{1}{3}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$-∞，ln\frac{5}{36}$）∪（$ln\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，平面向量基本定理，絕對(duì)值不等式的解法，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．