Question

11．若數(shù)列{a_n}中不超過f（m）的項(xiàng)數(shù)恰為b_m（m∈N^*），則稱數(shù)列{b_m}是數(shù)列{a_n}的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f（m）是數(shù)列{a_n}生成{b_m}的控制函數(shù)．
（1）已知a_n=n²，且f（m）=m²，寫出b₁、b₂、b₃；
（2）已知a_n=2n，且f（m）=m，求{b_m}的前m項(xiàng)和S_m；
（3）已知a_n=2ⁿ，且f（m）=Am³（A∈N^*），若數(shù)列{b_m}中，b₁，b₂，b₃是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b₃=10，求d的值及A的值．

Answer 1

分析 （1）利用生成數(shù)列，與控制函數(shù)的意義即可得出．
（2）對m分類討論：可得b_m．進(jìn)而得出前n項(xiàng)和．
（3）依題意：${a_n}={2^n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，設(shè)b₁=t，即數(shù)列{a_n}中，不超過A的項(xiàng)恰有t項(xiàng)，所以2^t≤A＜2^t+1，同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，可得d＜4，d為正整數(shù)，得出d=1，2，3，分類討論即可得出．

解答 解：（1）m=1，則a₁=1≤1，∴b₁=1；
m=2，則a₁=1＜4，a₂=4≤4，∴b₂=2；
m=3，則a₁=1＜9，a₂=4＜9，a₃=9≤9，∴b₃=3．
（2）m為偶數(shù)時(shí)，則2n≤m，則${b_m}=\frac{m}{2}$；
m為奇數(shù)時(shí)，則2n≤m-1，則${b_m}=\frac{m-1}{2}$；
∴${b_m}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{m-1}{2}\;\;\;（m為奇數(shù)）}\\{\frac{m}{2}\;\;\;\;\;\;（m為偶數(shù)）}\end{array}}\right.$，
m為偶數(shù)時(shí)，則${S_m}={b_1}+{b_2}+…+{b_m}=\frac{1}{2}（1+2+…+m）-\frac{1}{2}×\frac{m}{2}=\frac{m^2}{4}$；
m為奇數(shù)時(shí)，則${S_m}={b_1}+{b_2}+…+{b_m}={S_{m+1}}-{b_{m+1}}=\frac{{{{（m+1）}^2}}}{4}-\frac{m+1}{2}=\frac{{{m^2}-1}}{4}$；
∴${S_m}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{m^2}-1}}{4}\;\;\;（m為奇數(shù)）}\\{\frac{m^2}{4}\;\;\;\;\;\;（m為偶數(shù)）}\end{array}}\right.$．
（3）依題意：${a_n}={2^n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
設(shè)b₁=t，即數(shù)列{a_n}中，不超過A的項(xiàng)恰有t項(xiàng)，所以2^t≤A＜2^t+1，
同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，可得：
$\begin{array}{l}{2^t}≤A＜{2^{t+1}}，\\{2^{t+d-3}}≤A＜{2^{t+d-2}}，\\ \frac{{{2^{t+2d}}}}{125}≤A＜\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}，\end{array}$
故$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}≤A＜min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}$，
由以下關(guān)系：
$\begin{array}{l}{2^{t+d-3}}＜{2^{t+1}}，\\ \frac{{{2^{t+2d}}}}{125}＜{2^{t+d-2}}，\end{array}$
得d＜4，
∵d為正整數(shù)，∴d=1，2，3．
當(dāng)d=1時(shí)，$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}=max\{{2^t}，\frac{2^t}{4}，\frac{{4×{2^t}}}{125}\}={2^t}$，
$min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}=min\{{2^{t+1}}，\frac{2^t}{2}，\frac{{8×{2^t}}}{125}\}=\frac{{8×{2^t}}}{125}＜{2^t}$不合題意，舍去；
當(dāng)d=2時(shí)，$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}=max\{{2^t}，{2^{t-1}}，\frac{{16×{2^t}}}{125}\}={2^t}$，
$min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}=min\{{2^{t+1}}，{2^t}，\frac{{32×{2^t}}}{125}\}=\frac{{32×{2^t}}}{125}＜{2^t}$不合題意，舍去；
當(dāng)d=3時(shí)，$max\{{2^t}，{2^{t+d-3}}，\frac{{{2^{t+2d}}}}{125}\}=max\{{2^t}，{2^t}，\frac{{64×{2^t}}}{125}\}={2^t}$，
$min\{{2^{t+1}}，{2^{t+d-2}}，\frac{{{2^{t+2d+1}}}}{125}\}=min\{{2^{t+1}}，{2^{t+1}}，\frac{{128×{2^t}}}{125}\}=\frac{{128×{2^t}}}{125}＞{2^t}$，適合題意．
此時(shí)${2^t}≤A＜\frac{128}{125}×{2^t}$，b₁=t，b₂=t+3，b₅=t+6，∴t+3≤b₃≤t+6．
∵b₃=10，∴4≤t≤7，
∵t為整數(shù)，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b₃=10，
∴2¹⁰≤27A＜2¹¹，∴$\frac{{{2^{10}}}}{27}≤A＜\frac{{{2^{11}}}}{27}$．
當(dāng)t=4時(shí)，${2^4}≤A＜\frac{{{2^{11}}}}{125}$，∴無解．
當(dāng)t=5時(shí)，${2^5}≤A＜\frac{{{2^{12}}}}{125}$，∴無解．
當(dāng)t=6時(shí)，${2^6}≤A＜\frac{{{2^{13}}}}{125}$，∴$64≤A＜\frac{{{2^{13}}}}{125}$．
當(dāng)t=7時(shí)，${2^7}≤A＜\frac{{{2^{14}}}}{125}$，∴無解，∴${2^6}≤A＜\frac{{{2^{13}}}}{125}$．
∵A∈N*，∴A=64或A=65．
綜上：d=3，A=64或65．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．