Question

14．若f（x）=$\frac{a（{2}^{x}+1）-2}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)，求：
（1）a的值；
（2）函數(shù)f（x）的值域；
（3）判斷并證明f（x）單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0列方程解出a；（2）利用不等式的性質(zhì)求出值域；（3）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷并證明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a（{2}^{x}+1）-2}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)，∴f（0）=0，即$\frac{2a-2}{2}$=0，解得a=1．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，∵2^x＞0，∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，∴-1＜1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1．∴f（x）的值域是（-1，1）．
（3）f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{（{2}^{x}+1）^{2}}$，∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）是增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的值域，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．