已知函數(shù)，當時函數(shù)取得一個極值，其中．

（Ⅰ）求與的關系式；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當時，函數(shù)的圖象上任意一點的切線的斜率恒大于，求的取值范圍．

 

【答案】

（1）

（2）當時，在上單調(diào)遞減，（8　分）

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

(3)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）， （　1分）

∵　是函數(shù)的一個極值點，

∴　，即， （　3分）

則； （　4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

＝，

∵　，

∴　 （5　分）

當變化時，的變化情況如下表：

1

－

0

＋

0

－

↘

極小值

↗

極大值

↘

由上表知，當時，在上單調(diào)遞減，（8　分）

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（Ⅲ）由已知得，即， （　9分）

∵　，　∴　，

設，其圖象開口向上，

由題意知當時，恒成立， （　11分）

則，即，

解之得． （13　分）

又，∴　，

故的取值范圍為． （　14分）

考點：導數(shù)的運用

點評：本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解極值，以及函數(shù)的切線方程的運用，基礎題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)，當時，取到極大值2。

（1）用關于a的代數(shù)式分別表示b和c；

（2）當時，求的極小值

（3）求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年上海市普陀區(qū)高三上學期12月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

定義在上的函數(shù)，如果對任意，恒有（，）成立，則稱為階縮放函數(shù).

（1）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當時，，求的值；

（2）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當時，，求證：函數(shù)在上無零點；

（3）已知函數(shù)為階縮放函數(shù)，且當時，的取值范圍是，求在（）上的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年上海市普陀區(qū)高三上學期12月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

定義在上的函數(shù)，如果對任意，恒有（，）成立，則稱為階縮放函數(shù).

（1）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當時，，求的值；

（2）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當時，，求證：函數(shù)在上無零點；

（3）已知函數(shù)為階縮放函數(shù)，且當時，的取值范圍是，求在（）上的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省高三第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，當時取極小值。

（1）求的解析式；

（2）如果直線與曲線的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年重慶市高一12月月考數(shù)學試卷 題型：解答題

(12分)已知函數(shù)，

(1)當時，求的反函數(shù)；

(2)求關于的函數(shù) 當時的最小值；

(3)我們把同時滿足下列兩個性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”：①函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為.

(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數(shù)”？若是，求出的值或關系式；若不是，請說明理由；

(Ⅱ)若關于的函數(shù)是“和諧函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

 

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