Question

7．已知不等式|x-3|+|x+2|≤|a+1|．
（1）當a=-8時，解不等式；
（2）若不等式有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=-8代入不等式化簡，對x分類討論，分別去掉絕對值求出x的范圍，最后再求并集可得答案；
（2）由絕對值的幾何意義求出式子|x-3|+|x+2|的最小值，由條件列出不等式，利用絕對值不等式的解法求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=-8時，不等式為|x-3|+|x+2|≤7，
當x≤-2時，原不等式等價于-2x-6≤0，即x≥-3，∴-3≤x≤-2，
當-2＜x＜3時，原不等式等價于5≤7，成立，∴-2＜x＜3，
當x≥3時，原不等式等價于2x-1≤7，即x≤4，∴3≤x≤4，
綜上所述，不等式的解集為[-3，4]；
（2）∵對任意x∈R，式子|x-3|+|x+2|的最小值是5，
∴不等式|x-3|+|x+2|≤|a+1|有解時滿足：|a+1|≥5，
∴a+1≤-5或a+1≥5，解得a≤-6或a≥4，
即a的取值范圍是（-∞，-6]∪[4，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，利用絕對值的幾何意義求最值，以及分類討論思想，考查化簡、變形能力．