Question

16．已知x，y，z為實(shí)數(shù)，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，則z的取值范圍為$[-1，\frac{13}{3}]$．

Answer 1

分析 由x+y+z=5得y=5-z-x，代入xy+yz+zx=3z化簡成關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式與方程根的關(guān)系列出不等式，求出z的取值范圍．

解答 解：∵x+y+z=5，∴y=5-z-x，
代入xy+yz+zx=3得，x（5-z-x）+z（5-z-x）+zx=3，
化簡可得：x²+（z-5）x+（z²-5z+3）=0，
∴x是方程x²+（z-5）x+z²-5z+3=0的實(shí)根，
∴△=（z-5）²-4（z²-5z+3）≥0，即3z²-10z-13≤0，
∴（3z-13）（z+1）≤0，解得-1≤z≤$\frac{13}{3}$，
∴z的取值范圍為$[-1，\frac{13}{3}]$，
故答案為：$[-1，\frac{13}{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，一元二次方程根的問題，以及方程轉(zhuǎn)化為不等式問題，屬于中檔題．