Question

設實數x₁、x₂、…、x_n中的最大值為max{x₁、x₂、…、x_n}，最小值min{x₁、x₂、…、x_n}，設△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a≤b≤c，設△ABC的傾斜度為t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}，設a=2，則t的取值范圍是

[1，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：根據題意，可得max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=c且min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

2 b ，c＜ 1 2 b2 b c ，c≥ 1 2 b2

，因此對c＜

1

2

b²和c≥

1

2

b²兩種情況加以討論，利用三角形兩邊之和大于第三邊和不等式的性質進行推導，聯解不等式組可得t的取值范圍是[1，

1+ 5

2

）．

解答：解：∵a=2，a≤b≤c，
∴max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=max{

2

b

，

b

c

，

c

2

}=

c

2

，
而min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=min{

2

b

，

b

c

，

c

2

}=

2 b ，c＜b2 b c ，c≥b2

①當c＜

1

2

b²時，t=

c

2

•

2

b

=

c

b

，可得c=tb，（t≥1）
∵由2+b＞c，得2+b＞tb，∴t≠1時，b＜

2

t-1

，
∵c=tb＜

1

2

b²，∴t＜

1

2

b，可得t＜

1

t-1

，
解之得1＜t＜

1+ 5

2

而t=1時，b=c＞a=2，符合題意．
∴此時t的范圍為[1，

1+ 5

2

）．
②當c≥b²時，t=

c

2

•

b

c

=

b

2

，可得b=2t，
∵2+b＞c且c≥

1

2

b²，
∴2+b＞

1

2

b²⇒t²-t-1＜0，
解得1≤t＜

1+ 5

2

，
綜上所述，可得當a=2時，t的取值范圍是[1，

1+ 5

2

）．

點評：本題考查了實數的大小比較，函數的最值的求法，考查了學生分析解答問題的能力．