Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，S_n為其前n項(xiàng)和，若a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列，且a₁₀=-17，則$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$的最小值是（　�。�

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{5}{8}$
• C． $-\frac{3}{8}$
• D． $-\frac{15}{32}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+5d），解可得a₁、d的值，進(jìn)而討論可得a₁、d的值，即可得$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{-{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$，令$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$≥$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$且$\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$≥$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$，解出n的值，解可得n=4時，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$取得最小值；將n=4代入$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{-{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$中，計(jì)算可得答案．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列，且a₁₀=-17，
∴（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+5d），a₁₀=a₁+9d=-17
解得d=-2，a₁=1或d=0，a₁=-17（舍去）
當(dāng)d=-2時，S_n=n+$\frac{n（n-1）×（-2）}{2}$=-n²+2n，
則$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{-{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$，
令$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$≥$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$且$\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$≥$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$，
解可得2+$\sqrt{3}$≤n≤3+$\sqrt{3}$，
即n=4時，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$取得最小值，且$\frac{{S}_{4}}{{2}^{4}}$=-$\frac{1}{2}$；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．