如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐的體積為．

解析試題分析：（1）連接，要證平面，需證∥，而∥易證；
（2）用割補法，用長方體的體積減去四個三棱錐的體積即可，求得結(jié)果為.
試題解析：（1） 連結(jié)，如圖，
∵、分別是、的中點，是矩形，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．               2分
∵平面，平面，
∴平面．         6分
（2） 解法1 連結(jié)，∵正方形的邊長為2，
，∴，，，則，
∴．                                       8分
又∵在長方體中，，，且，
∴平面，又平面，
∴，又，              
∴平面，即為三棱錐的高．      10分
∵，
∴．                 12分
解法2： 三棱錐是長方體割去三棱錐、三棱錐、三棱錐、三棱錐后所得，而三棱錐、、、是等底等高，故其體積相等．
．
考點：線面平行的判定定理、空間幾何體的表面積和體積.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖示，在四棱錐A－BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱錐的三視圖如下：

（1）求二面角B－AC－D的余弦弦值；
（2）在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成45°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。

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在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.
（1）求證：；
（2）若，求三棱錐的體積.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=600，E為PA的中點,F為PC上不同于P、C的任意一點.
(1)求證:PC∥面EBD
(2)求異面直線AC與PB間的距離
(3)求三棱錐E-BDF的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形，側(cè)面BB1C1C為菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥B1C.
(1)求證：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
(2)若AB＝2，求三棱柱ABC—A1B1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，底面是邊長為2的菱形，且，以與為底面分別作相同的正三棱錐與，且.

(1)求證：平面；
(2)求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

(1)若，求證：；
(2)若二面角的大小為，則CE為何值時，三棱錐的體積為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，垂直于矩形所在平面，，．

（1）求證：；
（2）若矩形的一個邊,,則另一邊的長為何值時，三棱錐的體積為？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點.

(1)證明:BC1∥平面A1CD;
(2)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱錐CA1DE的體積.

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