【題目】(本小題滿分為14分)已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.
【答案】(1)a=2,b=1.(2)
【解析】試題分析:(1)由函數(shù)是奇函數(shù)可得,將代入兩個特殊值得到關(guān)于的方程組求解其值;(2)首先利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用奇函數(shù)將不等式變形為f(x2-x)< f(-2x2+t),,利用單調(diào)性得到關(guān)于的恒成立不等式,分離參數(shù)后通過求函數(shù)最值得到的取值范圍
試題解析:(1)∵f(x)是奇函數(shù)且0∈R,∴f(0)=0即
∴
又由f(1)=-f(-1)知 a=2
∴f(x)=
(2)證明設(shè)x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2
·
∵y=2x在(-∞,+∞)上為增函數(shù)且x1<x2,∴
且y=2x>0恒成立,∴
∴f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)
∵f(x)是奇函數(shù)f(x2-x)+f(2x2-t)<0等價于f(x2-x)<-f(2x2-t)=f(-2x2+t)
又∵f(x)是減函數(shù),∴x2-x>-2x2+t
即一切x∈R,3x2-x-t>0恒成立
∴△=1+12t<0,即t<
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知兩條不重合的直線和兩個不重合的平面,若,則下列四個命題:①若,則;②若,則; ③若,則;④若,則,其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】為了選拔參加自行車比賽的選手,對自行車運動員甲、乙兩人在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)畫出莖葉圖,由莖葉圖你能獲得哪些信息;
(2)估計甲、乙兩運動員的最大速度的平均數(shù)和方差,并判斷誰參加比賽更合適.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線方程為,求的極值;
(2)若,是否存在,使的極值大于零?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知某池塘養(yǎng)殖著鯉魚和鯽魚,為了估計這兩種魚的數(shù)量,養(yǎng)殖者從池塘中捕出這兩種魚各1 000條,給每條魚做上不影響其存活的標記,然后放回池塘,待完全混合后,再每次從池塘中隨機地捕出1 000條魚,記錄下其中有記號的魚的數(shù)目,立即放回池塘中.這樣的記錄做了10次,并將記錄獲取的數(shù)據(jù)制作成如圖所示的莖葉圖.
(1)根據(jù)莖葉圖計算有記號的鯉魚和鯽魚數(shù)目的平均數(shù),并估計池塘中的鯉魚和鯽魚的數(shù)量;
(2)為了估計池塘中魚的總質(zhì)量,現(xiàn)按照(1)中的比例對100條魚進行稱重,根據(jù)稱重魚的質(zhì)量介于[0,4.5](單位:千克)之間,將測量結(jié)果按如下方式分成九組:第一組[0,0.5),第二組[0.5,1),…,第九組[4,4.5].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.
①估計池塘中魚的質(zhì)量在3千克以上(含3千克)的條數(shù);
②若第三組魚的條數(shù)比第二組多7條、第四組魚的條數(shù)比第三組多7條,請將頻率分布直方圖補充完整;
③在②的條件下估計池塘中魚的質(zhì)量的眾數(shù)及池塘中魚的總質(zhì)量.
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【題目】某種新產(chǎn)品投放市場的100天中,前40天價格呈直線上升,而后60天其價格呈直線下降,現(xiàn)統(tǒng)計出其中4天的價格如下表:
時間 | 第4天 | 第32天 | 第60天 | 第90天 |
價格(千元) | 23 | 30 | 22 | 7 |
(1)寫出價格關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式;(表示投放市場的第天);
(2)銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系:,則該產(chǎn)品投放市場第幾天銷售額最高?最高為多少千元?
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【題目】是等邊三角形,邊長為4, 邊的中點為,橢圓以, 為左、右兩焦點,且經(jīng)過、兩點。
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)過點且軸不垂直的直線交橢圓于, 兩點,求證:直線與的交點在一條定直線上.
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【題目】如圖所示, 是邊長為的正三角形, 平面,且在平面的同側(cè),它們在內(nèi)的正射影分別是,且是, 到的距離為.
(1)求點到平面的距離;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動,有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇;
方案甲:員工最多有兩次抽獎機會,每次抽獎的中獎率為.第一次抽獎,若未中獎,則抽獎結(jié)束.若中獎,則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎,規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎金,不進行第二次抽獎;若正面朝上,員工則須進行第二次抽獎,且在第二次抽獎中,若中獎,獲得獎金1000元;若未中獎,則所獲獎金為0元.
方案乙:員工連續(xù)三次抽獎,每次中獎率均為,每次中獎均可獲獎金400元.
(1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金(元)的分布列;
(2)某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎,試比較哪個方案更劃算?
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