【題目】是等邊三角形，邊長(zhǎng)為4， 邊的中點(diǎn)為，橢圓以， 為左、右兩焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)。

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上.

【答案】（1）橢圓的方程為（2）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由題意得 ，可得b,即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由對(duì)稱性知需證直線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，設(shè)， ，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線與方程，解方程組得交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，再設(shè)的方程為，代入化簡(jiǎn)得，聯(lián)立直線MN方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得.

試題解析：解：（1）由題意可知兩焦點(diǎn)為與，且，因此橢圓的方程為.

（2）①當(dāng)不與軸重合時(shí)，

設(shè)的方程為，且，

聯(lián)立橢圓與直線消去可得，即

，

設(shè)，

則： ①

： ②

②－①得

則，即.

②當(dāng)與軸重合時(shí)，即的方程為，即， .

即： ①

： ②

聯(lián)立①和②消去可得.

綜上與的交點(diǎn)在直線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線： 與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市需對(duì)某環(huán)城快速車道進(jìn)行限速，為了調(diào)研該道路車速情況，于某個(gè)時(shí)段隨機(jī)對(duì)輛車的速度進(jìn)行取樣，測(cè)量的車速制成如下條形圖：

經(jīng)計(jì)算：樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.已知車速過(guò)慢與過(guò)快都被認(rèn)為是需矯正速度，現(xiàn)規(guī)定車速小于或車速大于是需矯正速度.

（1）從該快速車道上所有車輛中任取個(gè)，求該車輛是需矯正速度的概率；

（2）從樣本中任取個(gè)車輛，求這個(gè)車輛均是需矯正速度的概率；

（3）從該快速車道上所有車輛中任取個(gè)，記其中是需矯正速度的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分為14分）已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求a，b的值；

（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ， .

（1）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號(hào)召，決定各購(gòu)置一輛純電動(dòng)汽車．經(jīng)了解目前市場(chǎng)上銷售的主流純電動(dòng)汽車，按續(xù)駛里程數(shù)（單位：公里）可分為三類車型， ， ．甲從三類車型中挑選，乙從兩類車型中挑選，甲、乙兩人選擇各類車型的概率如表：

已知甲、乙都選類型的概率為.

（1）求的值；

（2）求甲、乙選擇不同車型的概率；

（3）某市對(duì)購(gòu)買(mǎi)純電動(dòng)汽車進(jìn)行補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

記甲、乙兩人購(gòu)車所獲得的財(cái)政補(bǔ)貼之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)有一張長(zhǎng)為，寬為（）的長(zhǎng)方形鐵皮，準(zhǔn)備用它做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵皮容器，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失.如圖，在長(zhǎng)方形的一個(gè)角上剪下一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，作為鐵皮容器的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮容器的側(cè)面，設(shè)長(zhǎng)方體的高為，體積為.

（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求該鐵皮容器體積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）令，求函數(shù)的極值；

（Ⅲ）若，正實(shí)數(shù)， 滿足，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某商品的進(jìn)貨單價(jià)為1元/件，商戶甲往年以單價(jià)2元/件銷售該商品時(shí)，年銷量為1萬(wàn)件.今年擬下調(diào)銷售單價(jià)以提高銷量增加收益.據(jù)估算，若今年的實(shí)際銷售單價(jià)為元/件（），則新增的年銷量（萬(wàn)件）.

（1）寫(xiě)出今年商戶甲的收益（單位：萬(wàn)元）與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）商戶甲今年采取降低單價(jià)提高銷量的營(yíng)銷策略，是否能獲得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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