Question

6．已知f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$，g（x）=（x+1）•（f（x）-$\frac{1}{x}$）．
（1）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若方程g（x）=ax有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，證明：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

分析 （1）f（1）=1，f′（x）=$\frac{x+1-xlnx}{x（x+1）^{2}}$．f′（1）=$\frac{1}{2}$即為切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出．
（2）由已知可得：g（x）=lnx．方程g（x）=ax（x＞0），化為：a=$\frac{lnx}{x}$=h（x），h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．可得：x=e時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，即最大值，h（e）=$\frac{1}{e}$．方程g（x）=ax有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，a∈$（0，\frac{1}{e}）$．可知x₁，x₂分別是方程lnx-ax=0的兩個(gè)根，即lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂，設(shè)x₁＞x₂，作差得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂），即a=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．原不等式：x₁•x₂＞e²等價(jià)于ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，通過換元即可證明．

解答 （1）解：f（1）=1，f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x+1-xlnx}{x（x+1）^{2}}$．
∴f′（1）=$\frac{2-0}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：
y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），化為：x-2y+1=0．
（2）證明：g（x）=（x+1）•（f（x）-$\frac{1}{x}$）=lnx．
方程g（x）=ax（x＞0），化為：a=$\frac{lnx}{x}$=h（x），
h′（x）=$\frac{x×\frac{1}{x}-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
可知：h′（e）=0，x＞e時(shí)，h′（e）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；0＜x＜e時(shí)，h′（e）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴x=e時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，即最大值，h（e）=$\frac{1}{e}$．
∵方程g（x）=ax有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，∴a∈$（0，\frac{1}{e}）$．
可知x₁，x₂分別是方程lnx-ax=0的兩個(gè)根，
即lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂，
ln（x₁x₂）=a（x₁+x₂），∴x₁•x₂＞e²等價(jià)于$a＞\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$．
設(shè)x₁＞x₂，作差得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂），即a=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
原不等式：x₁•x₂＞e²等價(jià)于ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t＞1，ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$．
設(shè)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$．
h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$．
∴函數(shù)h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，
即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故所證不等式：x₁•x₂＞e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．