Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）寫出函數(shù)的值域，單調(diào)區(qū)間（不必證明）；

（2）是否存在實數(shù)使得的定義域為，值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，若， 單調(diào)遞減； ， 遞減的；值域為.當時，在和內(nèi)是單調(diào)遞增的.此時值域為.

（2）.

【解析】試題分析：

（1）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)討論的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可得的單調(diào)區(qū)間，同時得值域；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知當時有 ，可看成為方程的兩個根，且，再根據(jù)二次方程根的分布知識可得的范圍，同理時，有 ，則有，兩式相減得： ，不合題意，從而得出結(jié)論．

試題解析：

（1） ，定義域為： ，

且， ， ，則為奇函數(shù)；

當時，若， 單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；同理， ， 也是遞減的；此時值域為.

當時， 在和內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以是單調(diào)遞增的.此時值域為.

（2）當，因為定義域為， 在定義域內(nèi)兩個子區(qū)間上是單調(diào)遞減的，

則有 ，可看成為方程的兩個根，且，又根據(jù)，則有對稱軸，

有兩個根在，需滿足，解得： ；

當，因為定義域為， 是單調(diào)遞增的，

則有 ，則有，兩式相減得： ，不滿足題意，所以..