Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）消去參數(shù)可以求出曲線C的普通方程，由，，能求出曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）解法一：極坐標(biāo)法.設(shè)動(dòng)點(diǎn)極坐標(biāo)為，由正弦定理得的表達(dá)式，確定最大值.

解法二：幾何法. 過圓心作的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn) .以為底邊計(jì)算，將最大值，轉(zhuǎn)化為底邊上的高最大值問題，由圓的性質(zhì)，易得當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，高 時(shí)取得最大值，由銳角的三角函數(shù)得，，，即可求出面積的最大值．

解法三：與解法二相同，最大值時(shí)，由勾股定理求得.

解法四：與解法二相同，最大值時(shí)，由圓心到之間距離計(jì)算.

詳解：解：（1）∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

∴消去參數(shù)得，即

∵，，

∴曲線的極坐標(biāo)方程為即.

（2）解法一：設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為且，

∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，的最大值為

（2）解法二：

∵點(diǎn)、在圓上

∴過圓心作的垂線交圓于、兩點(diǎn)，

交于點(diǎn)

則

如圖所示,

（2）解法三：∵點(diǎn)、在圓上

∴過圓心作的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)

則

下同解法二

（2）解法四：∵點(diǎn)、在圓上

∴過圓心作直線的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)

∵直線的方程為：

∴點(diǎn)到直線的距離

下同解法二