Question

【題目】如圖，圓與軸交于、兩點，動直線（）與軸、軸分別交于點、，與圓交于、兩點（點縱坐標(biāo)大于點縱坐標(biāo)）.

（1）若，點與點重合，求點的坐標(biāo)；

（2）若，，求直線將圓分成的劣弧與優(yōu)弧之比；

（3）若，設(shè)直線、的斜率分別為、，是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

由題意得到，，

（1）由得，根據(jù)點與點重合，得到在直線上，求出，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果；

（2）取中點為，連結(jié)，由題意得到，推出，從而求出直線，再求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；

（2）設(shè)、，聯(lián)立直線與圓的方程，得到，再由題意得，推出，求出或，根據(jù)得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.

因為圓與軸交于、兩點，所以，，

（1）由得，又點與點重合，直線與圓交于、兩點，

所以在直線上，

因此，所以，

由得，所以，因此，

所以，即；

（2）取中點為，連結(jié)，因為，所以為中點，

所以，因此，

所以直線的斜率為，由得：，

由點到直線距離公式可得：，又，

所以，故，所以，

因此劣弧的長度為：，

又圓的周長為：，

所以直線將圓分成的劣弧與優(yōu)弧之比為.

（3）設(shè)、，因為，所以，代入圓可得：

，整理得：，

所以，

又、，所以，

又，，

所以，

即，即，

整理得：，解得或，

又，，所以，

即，即，

所以，解得，所以.