【題目】已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的最大值；

（2）證明：對(duì)任意的.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，已知切線方程說(shuō)明，，代入后可得，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出最大值；

（2）不等式為，可用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，證明這個(gè)最小值大于0，即證得原不等式成立．

詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，因的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以解得，所以，故．令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

（2）證明：原不等式可變?yōu)?/span>則

，可知函數(shù)單調(diào)遞增，

而，

所以方程在（0，+∞）上存在唯一實(shí)根x0，即．

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；所以

.

即在（0，+∞）上恒成立，

所以對(duì)任意x＞0，成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知為三個(gè)不同的定點(diǎn).以原點(diǎn)為圓心的圓與線段都相切.

（Ⅰ）求圓的方程及的值；

（Ⅱ）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求的值；

（Ⅲ）在直線上是否存在異于的定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若函數(shù)在處取得極值，求的值；

(Ⅱ)設(shè)，若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求的最大整數(shù)值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從含有兩件正品，和一件次品的3件產(chǎn)品中每次任取一件，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率．

（1）每次取出不放回；

（2）每次取出后放回．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，ABCD為直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD=2，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PB⊥BD．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)P，且直線l∥直線BC，試在直線l上找一點(diǎn)E，使得直線PC∥平面EBD；
（3）若PC⊥CD，PB=4，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2離心率為e．過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2的值是（ ）
A.1+2
B.3+2
C.4﹣2
D.5﹣2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】世界那么大，我想去看看，處在具有時(shí)尚文化代表的大學(xué)生們旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見(jiàn)大學(xué)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解大學(xué)生每年旅游消費(fèi)支出（單位：百元）的情況，相關(guān)部門(mén)隨機(jī)抽取了某大學(xué)的名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：

組別

頻數(shù)

（Ⅰ）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；

（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布，若該所大學(xué)共有學(xué)生人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在元以上；

（Ⅲ）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在范圍內(nèi)的名學(xué)生中有名女生， 名男生，現(xiàn)想選其中名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：若，則，

， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為7米的正方形鐵皮，其中ATN是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形鐵皮，其中P是弧TN上一點(diǎn)．設(shè)，長(zhǎng)方形的面積為S平方米．

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；

（2）求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓O的割線PBA與切線PE，E為切點(diǎn)，連接AE、BE，∠APE的平分線與AE、BE分別交于點(diǎn)C、D，其中∠AEB=30°．

（1）求證：
（2）求∠PCE的大�。�

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