Question

7．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A，B是C上兩動點，且∠AFB=α（α為常數(shù)），線段AB中點為M，過點M作l的垂線，垂足為N，若$\frac{|AB|}{|MN|}$的最小值為1，則α=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 先畫出圖象、做出輔助線，設|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義得2|MN|=a+b，由題意和余弦定理可得|AB|²=a²+b²-2abcosα，再根據(jù)$\frac{|AB|}{|MN|}$的最小值為1，即可得到答案．

解答 解：如右圖：過A、B分別作準線的垂線AQ、BP，垂足分別是Q、P，
設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcosα，
∵$\frac{|AB|}{|MN|}$的最小值為1，
∴a²+b²-2abcosα≥$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，α=$\frac{π}{3}$時，不等式恒成立．
故選：C．

點評 本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應用等知識，屬于中檔題．