Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右頂點(diǎn)，點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)P，B在橢圓上，且在x軸上方，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
（1）求直線BD的方程；
（2）已知拋物線C：x²=2py（p＞0）過點(diǎn)P，點(diǎn)Q是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為d₁，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d₂，求d₁+d₂的最小值．
（3）求直線BD被過P，A，B三點(diǎn)的圓C截得的弦長(zhǎng)；
（4）是否存在分別以PB，PA為弦的兩個(gè)相外切的等圓？若存在，求出這兩個(gè)圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P，B在橢圓上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式，我們可以求直線BD的方程；
（2）d₁+d₂=|QF|-1+|QA|≥|AF|-1；
（3）確定過P，A，B三點(diǎn)的圓C的圓心與半徑，求出圓心到直線BD的距離，由此，我們可以得到直線BD被過P，A，B三點(diǎn)的圓C截得的弦長(zhǎng)；
（4）假設(shè)存在這樣的兩個(gè)圓M與圓N，其中PB是圓M的弦，PA是圓N的弦，則點(diǎn)M一定在y軸上，點(diǎn)N一定在線段PC的垂直平分線y=x-1上，當(dāng)圓M和圓N是兩個(gè)相外切的等圓時(shí)，一定有P，M，N在一條直線上，且|PM|=|PN|，從而就可以得出結(jié)論

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$，且A（3，0），所以|BP|=|DA|=2，
因?yàn)?\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$，及BP與x軸平行，即可得B，P關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，從而得P（1，2），B（-1，2）…（3分）
所以直線BD的方程為x+y-1=0…（5分）
（2）由拋物線x²=$\frac{1}{2}$y，可得焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{8}$）．A（3，0）
則|AF|=$\sqrt{9+\frac{1}{64}}$=$\frac{\sqrt{577}}{8}$．
∴d₁+d₂=|QF|-1+|QA|≥|AF|-1．
∴d₁+d₂的最小值=$\frac{\sqrt{577}}{8}$-1；（7分）
（3）線段BP的垂直平分線方程為x=0，線段AP的垂直平分線方程為y=x-1，
所以圓C的圓心為（0，-1），且圓C的半徑為$\sqrt{10}$…（8分）
又圓心（0，-1）到直線BD的距離為$\sqrt{2}$，
所以直線BD被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{10-2}$=4$\sqrt{2}$…（10分）
（4）假設(shè)存在這樣的兩個(gè)圓M與圓N，其中PB是圓M的弦，PA是圓N的弦，
則點(diǎn)M一定在y軸上，點(diǎn)N一定在線段PA的垂直平分線y=x-1上，
當(dāng)圓M和圓N是兩個(gè)相外切的等圓時(shí)，一定有P，M，N在一條直線上，且|PM|=|PN|…（12分）
設(shè)M（0，b），則N（2，4-b），根據(jù)N（2，4-b）在直線y=x-1上，
∴4-b=2-1，∴b=3…（14分）
∴M（0，3），N（2，1），|PM|=|PN|=$\sqrt{2}$，
故存在這樣的兩個(gè)圓，且方程分別為x²+（y-3）²=2，（x-2）²+（y-1）²=2…（16分）

點(diǎn)評(píng) 求直線方程的關(guān)鍵是求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求圓中的弦長(zhǎng)要充分利用圓的性質(zhì)，對(duì)于探究性問題，總是假設(shè)存在，再確定是否存在．