Question

12．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（2，-2），$\overrightarrow{OB}$=（4，1），P點(diǎn)在x軸上．
（1）使$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$最小，求P坐標(biāo)；
（2）若∠APB為鈍角，求P橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，0），可得$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BP}$含有x的坐標(biāo)形式，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=x²-6x+10，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)x=3時(shí)$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$取得最小值1，得到本題答案；
（2）若∠APB為鈍角，即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且有$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$不共線．設(shè)P（m，0），求得向量PA，PB的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量共線的坐標(biāo)表示，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），
可得$\overrightarrow{AP}$=（x-2，2），$\overrightarrow{BP}$=（x-4，-1）．
因此$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x-4）（x-2）-2=x²-6x+6=（x-3）²-3．
∵二次函數(shù)y=（x-3）²-3，當(dāng)x=3時(shí)取得最小值為-3．
∴當(dāng)x=3時(shí)，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$取得最小值-3，此時(shí)P（3，0）；
（2）若∠APB為鈍角，即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且有$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$不共線．
設(shè)P（m，0），即有$\overrightarrow{PA}$=（2-m，-2），$\overrightarrow{PB}$=（4-m，1），
則（2-m）（4-m）＜0，解得2＜m＜4．
由$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$共線，可得2-m=-2（4-m），解得m=$\frac{10}{3}$
則有P的橫坐標(biāo)的范圍是（2，$\frac{10}{3}$）∪（$\frac{10}{3}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，求在x軸上一點(diǎn)P，使$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值以及∠APB為鈍角，著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)考查向量的夾角為鈍角的條件，屬于中檔題．