Question

3．對于函數(shù)y=f（x），若存在開區(qū)間D，同時滿足：
①存在a∈D，當(dāng)x＜a時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞a時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②對任意x＞0，只要a-x，a+x∈D，都有f（a-x）＞f（a+x），則稱y=f（x）為D內(nèi)的“勾函數(shù)”．
（1）證明：函數(shù)y=|lnx|為（0，+∞）內(nèi)的“勾函數(shù)”．
（2）對于給定常數(shù)λ，是否存在m，使函數(shù)h（x）=$\frac{1}{3}$λx³-$\frac{1}{2}$λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”？若存在，試求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用“勾函數(shù)”的定義及已知條件即可證明；（2）利用“勾函數(shù)”的定義中的兩個條件判斷是否滿足即可．

解答 證明：（1）①存在a=1，當(dāng)x∈（0，1），f（x）=-lnx為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞），f（x）=lnx為增函數(shù)；
②對任意x＞0，當(dāng)1-x＞0時，f（1-x）=|ln（1-x）|=-ln（1-x），
f（1+x）=|ln（1+x）|=ln（1+x），
所以f（1-x）-f（1+x）=-ln（1-x）-ln（1+x）=-ln（1-x²）＞0，
即f（1-x）＞f（1+x），
所以函數(shù)y=|lnx|為（0，+∞）內(nèi)的“勾函數(shù)”．
（2）①當(dāng)λ=0時，h（x）=1，不存在m使函數(shù)h（x）在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”；
②當(dāng)λ＜0時，h′（x）=λx²-λ²x-2λ³=λ（x+λ）（x-2λ），
當(dāng)x∈（2λ，-λ）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-λ，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
因此不存在m及常數(shù)x₀，使函數(shù)h（x）在（m，x₀）為減函數(shù)，同時在（x₀，+∞）為增函數(shù)．
所以不存在m使函數(shù)h（x）在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”．
 ③當(dāng)λ＞0時，h（x）在（-λ，2λ）為減函數(shù)，在（2λ，+∞）為增函數(shù)．
當(dāng)m∈[-λ，2λ），則在（m，+∞）上存在a=2λ，使h（x）在（m，a）內(nèi)為減函數(shù)，在（a，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
當(dāng)x＞0，a-x，a+x∈（m，+∞）時，
因為h（a-x）-h（a+x）
=$\frac{1}{3}$λ[（2λ-x）³-（2λ+x）³]-$\frac{1}{2}$λ²[（2λ-x）²-（2λ+x）²]-2λ³[（2λ-x）-（2λ+x）]
=-$\frac{2}{3}$λx³＜0
所以h（a-x）＜h（a+x），
所以也不存在m使函數(shù)h（x）在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”，
綜上所述，不論常數(shù)λ取何值，都不存在m，
使函數(shù)h（x）在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”．

點評 熟練掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、“勾函數(shù)”的定義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．