Question

18．已知$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（3，1），D為線段AB的中點，設M為線段OD上的任意一點，（O為坐標原點），則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值為10．

Answer 1

分析 求出點D的坐標，寫出$\overrightarrow{OM}$，表示出$\overrightarrow{MA}$、$\overrightarrow{MB}$，計算$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最大值．

解答 解：∵D為線段AB的中點，
∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=（2，4），
∵M為線段OD上的任意一點，
∴$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OD}$（0≤λ≤1），
∴$\overrightarrow{OM}$=（2λ，4λ），
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OM}$=（1-2λ，7-4λ），
$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OM}$=（3-2λ，1-4λ），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（1-2λ）（3-2λ）-（7-4λ）（1-4λ）
=20λ²-40λ+10
=20（λ-1）²-10；
∵0≤λ≤1當λ=0時，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$有最大值，最大值為10．
故答案為：10．

點評 本題考查了平面向量的數量積與函數值的應用問題，是中檔題．