Question

【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C： +y2=1上，過(guò)M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足 = ．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q在直線x=﹣3上，且 =1．證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)M（x0 ， y0），由題意可得N（x0 ， 0），
設(shè)P（x，y），由點(diǎn)P滿足 = ．
可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0），
可得x﹣x0=0，y= y0 ，
即有x0=x，y0= ，
代入橢圓方程 +y2=1，可得 + =1，
即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2；
（Ⅱ）證明：設(shè)Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），
=1，可得（ cosα， sinα）（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即為﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
解得m= ，
即有Q（﹣3， ），
橢圓 +y2=1的左焦點(diǎn)F（﹣1，0），
由kOQ=﹣ ，
kPF= ，
由kOQkPF=﹣1，
可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F．
【解析】（Ⅰ）設(shè)M（x0 ， y0），由題意可得N（x0 ， 0），設(shè)P（x，y），運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得m，即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得OQ，PF的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，即可得證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解斜率的計(jì)算公式的相關(guān)知識(shí)，掌握給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1，以及對(duì)兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系的理解，了解兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直．