【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C: +y2=1上,過(guò)M做x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足 = .
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=﹣3上,且 =1.證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)M(x0 , y0),由題意可得N(x0 , 0),
設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P滿足 = .
可得(x﹣x0 , y)= (0,y0),
可得x﹣x0=0,y= y0 ,
即有x0=x,y0= ,
代入橢圓方程 +y2=1,可得 + =1,
即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2;
(Ⅱ)證明:設(shè)Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π),
=1,可得( cosα, sinα)(﹣3﹣ cosα,m﹣ sinα)=1,
即為﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1,
解得m= ,
即有Q(﹣3, ),
橢圓 +y2=1的左焦點(diǎn)F(﹣1,0),
由kOQ=﹣ ,
kPF= ,
由kOQkPF=﹣1,
可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.
【解析】(Ⅰ)設(shè)M(x0 , y0),由題意可得N(x0 , 0),設(shè)P(x,y),運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合M滿足橢圓方程,化簡(jiǎn)整理可得P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得m,即有Q的坐標(biāo),求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo),求得OQ,PF的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,即可得證.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解斜率的計(jì)算公式的相關(guān)知識(shí),掌握給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線P1P2的斜率:斜率公式: k=y2-y1/x2-x1,以及對(duì)兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系的理解,了解兩條直線都有斜率,如果它們互相垂直,那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù);反之,如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù),那么它們互相垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠C=,AC=BC,M、N分別是BC、AB的中點(diǎn),將△BMN沿直線MN折起,使二面角B′﹣MN﹣B的大小為,則B'N與平面ABC所成角的正切值是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸:(12分)
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
零件尺寸 | 9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
零件尺寸 | 10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計(jì)算得 = xi=9.97,s= = =0.212, ≈18.439, (xi﹣ )(i﹣8.5)=﹣2.78,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi , i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變。ㄈ魘r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變。
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在( ﹣3s, +3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(。⿵倪@一天抽檢的結(jié)果看,是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?
(ⅱ)在( ﹣3s, +3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)
附:樣本(xi , yi)(i=1,2,…,n)的相關(guān)系數(shù)r= , ≈0.09.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓的離心率為,過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(2,1),直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
①求直線的斜率;②若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P()滿足到定點(diǎn)A(-1,0)的距離與到定點(diǎn)B(1,0)距離之比為
(1)求曲線C的方程。
(2)過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)M、N,若|MN|=4,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和=2-,數(shù)列{}滿足b1=1, b3+b7=18,且+=2(n≥2).
(1)求數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式;
(2)若=,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是_____________.
①.如果命題“”與命題“或”都是真命題,那么命題一定是真命題.
②.命題,則
③.命題“若,則”的否命題是:“若,則”
④.特稱命題 “,使”是真命題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體中, 在線段上運(yùn)動(dòng)且不與, 重合,給出下列結(jié)論:
①;
②平面;
③二面角的大小隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化;
④三棱錐在平面上的投影的面積與在平面上的投影的面積之比隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化;
其中正確的是( )
A. ①③④ B. ①③
C. ①②④ D. ①②
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