Question

9．已知a∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}（a+1）{x}^{2}+ax$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞1，函數(shù)y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出導(dǎo)函數(shù)的零點，然后分a=1，a＞1和a＜1三種情況，分別由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）和條件判斷出f（x）在[0，a+1]上的單調(diào)性，確定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由條件列出不等式，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a，
①當(dāng)a=1時，f′（x）=（x-1）²≥0，
所以f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜1時，
當(dāng)x＜a或x＞1時，f′（x）＞0，當(dāng)a＜x＜1時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，a），（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
③當(dāng)a＞1時，
當(dāng)x＜1或x＞a時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜a時f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，1），（a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，a）內(nèi)單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a＜1時，f（x）在（-∞，a），（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)a=1時，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時，f（x）在（-∞，1），（a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，a）內(nèi)單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，當(dāng)a＞1時，
f（x）在（-∞，1），（a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，a）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以f（x）在[0，1），（a，a+1]內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，a）內(nèi)單調(diào)遞減，
則f（x）在[0，a+1]上的最大值是f（0）或f（a+1），
因為f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（a+1）＞f（0）}\\{a＞1}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{（a+1）}^{3}-\frac{1}{2}（a+1）{（a+1）}^{2}+a（a+1）＞0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，
化簡得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4a+1＜0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得$1＜a＜2+\sqrt{3}$，
所以a的取值范圍是（1，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查求導(dǎo)公式、法則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想，是中檔題．