Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1，a∈R$．
（1）若曲線y=f（x）在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=-x+1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，且對任意x∈（0，2e]時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，求出a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$對x∈（0，2e]恒成立，即a＞x（1-lnx）對x∈（0，2e]恒成立，設(shè)g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）直線y=-x+1的斜率為-1，
函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{x}$…（2分）
所以f'（1）=-a+1=-1，
所以a=2…..（3分）
因?yàn)閥=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
又$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^2}$…（4分）
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
綜上，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2）…（6分）
（2）因?yàn)閍＞0，且對任意x∈（0，2e]時(shí)，f（x）＞0恒成立，
即$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$對x∈（0，2e]恒成立，
即a＞x（1-lnx）對x∈（0，2e]恒成立                   …..（7分）
設(shè)g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
所以g'（x）=1-lnx-1=lnx，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，2e]時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）在x∈（0，2e]上取得最大值  …（10分）
所以g（x）≤g（1）=1-ln1=1，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍（1，+∞）…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．