Question

15．在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)），直線l過點（0，2）且傾斜角為$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求圓C的普通方程及直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點，求弦|AB|的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1消去參數(shù)可得圓C的普通方程．由題意可得：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
（Ⅱ） 依題意，直線l的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y+2=0$，圓心C到直線l的距離d，利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-kwqko2c^{2}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)可得：圓C的普通方程為x²+y²=4．
由題意可得：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
（Ⅱ） 依題意，直線l的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y+2=0$，
圓心C到直線l的距離$d=\frac{2}{2}=1$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-u2a0gsy^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．