Question

【題目】2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長(zhǎng)跑、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)測(cè)試各項(xiàng)20分，滿分60分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)，為掌握全年級(jí)學(xué)生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計(jì)分規(guī)則如表1：

表1

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)
得分	17	18	19	20

（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學(xué)生中，男生跳繩個(gè)數(shù)大于等于185個(gè)的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)？

表2

跳繩個(gè)數(shù)			合計(jì)
男生	28
女生			54
合計(jì)			100

附：參考公式：

臨界值表：

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布（用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）．

①估計(jì)正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，正式測(cè)試時(shí)1分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求的分布列及期望．

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．．

Answer 1

【答案】（1）不能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）①約為1683人，②見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題目所給信息，完成表2，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測(cè)值k，查表判斷即可；
（2）利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，推出正式測(cè)試時(shí)，μ=185+10=195，σ=13，μ-σ=182．
①，由此可推出人數(shù)．
②由正態(tài)分布模型，全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，得到ξ服從，求出ξ的分布列，然后求解期望即可．

（1）在抽取的100人中，滿分的總?cè)藬?shù)為100×(0.03+0.01+0.008)×10=48人，

男生滿分的有28人，所以女生滿分的有20人，

男生共有46人，女生54人，所以男生跳繩個(gè)數(shù)不足185個(gè)的有4628=18人，女生跳繩個(gè)數(shù)不足185的有5420=34人，

完成表2如下圖所示：

跳繩個(gè)數(shù)			合計(jì)
男生	28	18	46
女生	20	34	54
合計(jì)	48	52	100

由公式可得，因?yàn)?/span>，

所以不能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)；

（2）①根據(jù)頻率分布直方圖可得初三上學(xué)期跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)：，

而，所以正式測(cè)試時(shí)，，故服從正態(tài)分布，

且，則，

所以，故正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)約為1683人；

②，服從，

，，，

，

則的分布列為：

	0	1	2	3

．