【題目】已知平面向，滿(mǎn)足，且，與夾角余弦值的最小值等于_________.

【答案】

【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn),結(jié)合題中所給模長(zhǎng)用表示出,即可用表示出與夾角的余弦值;利用換元法令,由平面向量數(shù)量積定義及三角函數(shù)的值域,求得的范圍.代入中求得m的取值范圍.再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義,用m表示出與夾角余弦值,即可由m的取值范圍結(jié)合表達(dá)式的性質(zhì)得解.

平面向,滿(mǎn)足,則

因?yàn)?/span>

展開(kāi)化簡(jiǎn)可得,

因?yàn)?/span>,代入化簡(jiǎn)可得

設(shè)與的夾角為

則由上式可得

而

代入上式化簡(jiǎn)可得

令,設(shè)與的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得

,而

所以

由余弦函數(shù)的值域可得,即

將不等式化簡(jiǎn)可得,解不等式可得

綜上可得,即

而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,設(shè)與夾角為,

則

當(dāng)分母越大時(shí),的值越小;當(dāng)的值越小時(shí),分母的值越大

所以當(dāng)時(shí), 的值最小

代入可得

所以與夾角余弦值的最小值等于

故答案為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長(zhǎng)跑、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)測(cè)試各項(xiàng)20分，滿(mǎn)分60分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)，為掌握全年級(jí)學(xué)生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計(jì)分規(guī)則如表1：

表1

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)

得分

17

18

19

20

（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學(xué)生中，男生跳繩個(gè)數(shù)大于等于185個(gè)的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)？

表2

跳繩個(gè)數(shù)

合計(jì)

男生

28

女生

54

合計(jì)

100

附：參考公式：

臨界值表：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布（用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）．

①估計(jì)正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，正式測(cè)試時(shí)1分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求的分布列及期望．

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了5對(duì)父子的身高，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．

編 號(hào)

A

B

C

D

E

父親身高

174

176

176

176

178

兒子身高

175

175

176

177

177

（1）從這五對(duì)父子任意選取兩對(duì)，用編號(hào)表示出所有可能取得的結(jié)果，并求隨機(jī)事件 “兩對(duì)父子中兒子的身高都不低于父親的身高”發(fā)生的概率；

（2）由表中數(shù)據(jù)，利用“最小二乘法”求關(guān)于的回歸直線的方程．

參考公式：，；回歸直線：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 （ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)和Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，，.

（1）以原點(diǎn)O和點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐標(biāo)；

（2）若且P、M、A三點(diǎn)共線，求的最小值；

（3）若，且，，求直線AQ的解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知兩個(gè)不相等的非零向量與，兩組向量，，，，和，，，，均有2個(gè)和3個(gè)按照某種順序排成一列所構(gòu)成，記，且表示所有可能取值中的最小值，有以下結(jié)論：①有5個(gè)不同的值；②若，則與無(wú)關(guān)；③ 若∥，則與無(wú)關(guān)；④ 若，則；⑤若，且，則與的夾角為；正確的結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①②④B.②④C.②③D.①⑤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】關(guān)于下列結(jié)論：

①函數(shù)是偶函數(shù)；

②直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；

③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)解析式為；

④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元．為增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為萬(wàn)元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高．

（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？

（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則的取值范圍是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線之間的陰影部分記為，區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為1.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）對(duì)于區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）動(dòng)直線穿過(guò)區(qū)域，分別交直線于兩點(diǎn)，若直線與點(diǎn)的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：的面積值為定值.

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