Question

6．已知函數(shù)f（x）=||x-2|-2|，若關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四個(gè)互不相等的實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則$\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_3}{x_4}}}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）
• B． （-$\frac{1}{2}$，0）
• C． （-2，0）
• D． （-$\frac{1}{3}$，0）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）的圖象，用m分別表示出x₁，x₂，x₃，x₄，結(jié)合分式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=||x-2|-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，}&{x＜0}\\{x，}&{0≤x≤2}\\{-x+4，}&{2＜x＜4}\\{x-4，}&{x≥4}\end{array}\right.$，
由圖可知，若f（x）=m的四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則m∈（0，2）
且x₁，x₂，x₃，x₄分別為：
-x₁=m，x₂=m，-x₃+4=m，x₄-4=m，
即x₁=-m，x₂=m，x₃=4-m，x₄=4+m，
∴$\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_3}{x_4}}}$=$\frac{-{m}^{2}}{（4-m）（4+m）}$=$\frac{-{m}^{2}}{16-{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-16}$
=$\frac{{m}^{2}-16+16}{{m}^{2}-16}$=1+$\frac{16}{{m}^{2}-16}$，
∵m∈（0，2）
∴m²∈（0，4），m²-16∈（-16，-12）
$\frac{16}{{m}^{2}-16}$∈（-$\frac{4}{3}$，-1），
則1+$\frac{16}{{m}^{2}-16}$∈（-$\frac{1}{3}$，0），
即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_3}{x_4}}}$的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，0），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，作出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合分別用m表示出x₁，x₂，x₃，x₄的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．