Question

過(guò)直線2x+y+4=0與x²+y²+2x-4y+1=0有交點(diǎn)的圓，并且面積最小，滿足此條件的圓的方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，找出此時(shí)圓心坐標(biāo)，當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)，圓的半徑最小，可得此時(shí)面積最小，把表示出的圓心坐標(biāo)代入2x+y+4=0中，得到關(guān)于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，進(jìn)而確定出所求圓的方程．

解答：解：可設(shè)圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（λ-4）y+4λ+1=0，
此時(shí)圓心坐標(biāo)為（-1-λ，

4-λ

2

），
顯然當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，
∴2（-1-λ）+

4-λ

2

+4=0，
解得：λ=

8

5

，
則所求圓的方程為：x²+y²+

26

5

x-

12

5

y+

37

5

=0．
故答案為：x²+y²+

26

5

x-

12

5

y+

37

5

=0

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程，找出圓心坐標(biāo)，得出圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)面積最小是解本題的關(guān)鍵．