Question

7．已知x、y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{{x^2}-y≤0}\end{array}}\right.$，則$z=-\frac{1}{2}x+y$的取值范圍是$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式為0求得目標(biāo)函數(shù)最小值；數(shù)形結(jié)合得到使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{{x^2}-y≤0}\end{array}}\right.$作出可行域，

化目標(biāo)函數(shù)為y=$\frac{1}{2}x+z$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+z}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，得2x²-x-2z=0．
由△=1+16z=0，得z=$-\frac{1}{16}$．
由圖可知，當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}x+z$過(guò)A（1，1）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{1}{2}$．
∴$z=-\frac{1}{2}x+y$的取值范圍是：$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．
故答案為：$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．