Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}，滿(mǎn)足anbn=log3an ， 求{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)?Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，
當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，
此時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1 ， 即an=3n﹣1 ，
所以an= ．
（Ⅱ）因?yàn)閍nbn=log3an ， 所以b1= ，
當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n ，
所以T1=b1= ；
當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），
所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），
兩式相減得：2Tn= +（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）= + ﹣（n﹣1）×31﹣n= ﹣ ，
所以Tn= ﹣ ，經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)也適合，
綜上可得Tn= ﹣
【解析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，兩式相減2an=2Sn﹣2Sn﹣1 ， 可求得an=3n﹣1 ， 從而可得{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）依題意，anbn=log3an ， 可得b1= ，當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n ， 于是可求得T1=b1= ；當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×31+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用錯(cuò)位相減法可求得{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．