Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

xlnx2，g(x)=-x2+|a|x-3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），f(x)≥

1

2

g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，由此利用導數(shù)性質和分類討論思想能求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）2xlnx≥-x²+|a|x-3，則|a|≤2lnx+x+

3

x

，設h（x）=2lnx+x+

3

x

，則h′（x）=

2

x

-

3

x2

+1=

(x+3)(x-1)

x2

，由此利用導數(shù)性質能求出a的范圍．

解答： 解：（1）當x在區(qū)間[t，t+2]，t＞0時，
f（x）=

1

2

xlnx2=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，當x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（

1

e

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∵t+2＞

1

e

，
∴①0＜t＜

1

e

＜t+2時，即0＜t＜

1

e

時，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
②

1

e

≤t＜t+2時，f（x）在區(qū)間[t，t+2]，（t＞0）時是遞增的，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt．
∴f（x）_min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）2xlnx≥-x²+|a|x-3，
則|a|≤2lnx+x+

3

x

，
設h（x）=2lnx+x+

3

x

，
則h′（x）=

2

x

-

3

x2

+1=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴所求a的范圍是-4≤a≤4．

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，利用函數(shù)的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．