Question

20．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的兩焦點作實軸的垂線，分別與漸近線交于A、B、C、D四點，則矩形ABCD的面積為（　�。�

• A． $\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 8
• D． 2

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，可得焦點坐標(biāo)和漸近線方程，令x=2，x=-2求得矩形的頂點坐標(biāo)，求出矩形ABCD的相鄰兩邊長，即可得到所求面積．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
則雙曲線的焦點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
令x=-2，可得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；令x=2，可得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
則有A（-2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（-2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），C（2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），D（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
則矩形ABCD的面積為|AB|•|BC|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×4=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，求出矩形的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．