Question

15．已知雙曲線的焦距為2$\sqrt{3}$，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1或y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1或$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1

Answer 1

分析 分類討論，設(shè)出雙曲線的方程，利用雙曲線的焦距為2$\sqrt{3}$，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，列出方程組，求出幾何量，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意，
焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），其上焦點(diǎn)為（0，c），一條漸近線為y=$\frac{a}$x．
∵雙曲線的焦距為2$\sqrt{3}$，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，
∴2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴a=1，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
同理，焦點(diǎn)在x軸上，方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解雙曲線的幾何性質(zhì)是關(guān)鍵．