Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，經(jīng)過點A（1，$\frac{3}{2}$）作兩條關(guān)于直線x=1對稱的直線分別交橢圓于B，C兩點，則直線BC的斜率k_BC為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 不能確定

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AC的斜率為-k，則直線AB，AC的方程分別為：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），分別與橢圓方程聯(lián)立，利用點A在橢圓上，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可得x_B，y_B，x_C，y_C．利用斜率計算公式可得直線BC的斜率k_BC．

解答 解：設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AC的斜率為-k，
則直線AB，AC的方程分別為：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+（12k-8k²）x+4k²-12k-3=0，
∵點A在橢圓上，∴x_B×1=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，即x_B=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_B=$\frac{-12{k}^{2}-12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
同理可得：x_C=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_C=$\frac{-12{k}^{2}+12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
∴直線BC的斜率k_BC=$\frac{{y}_{B}-{y}_{C}}{{x}_{B}-{x}_{C}}$=$\frac{-12k}{-24k}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、對稱的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．