Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x-2）+ln（x+2）
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，值域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的單調(diào)性（要說明單調(diào)區(qū)間）

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x+2＞0}\end{array}\right.$，解出可得函數(shù)的定義域．f（x）=ln（x-2）（x+2），由x∈（2，+∞），可得（x-2）（x+2）=x²-4＞0，即可得出函數(shù)f（x）的值域．
（II）函數(shù)f（x）在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增．利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x+2＞0}\end{array}\right.$，解得x＞2，可得函數(shù)的定義域為（2，+∞）．
f（x）=ln（x-2）+ln（x+2）=ln（x-2）（x+2），
∵x∈（2，+∞），∴（x-2）（x+2）=x²-4＞0，
∴l(xiāng)n（x-2）（x+2）∈R，
∴函數(shù)f（x）的值域為R．
（II）函數(shù)f（x）在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增．
∵y=ln（x-2），y=ln（x+2）分別在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x∈（2，+∞）單調(diào)遞增．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．