Question

14．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)函數(shù)f′（x），那么數(shù)列{$\frac{1}{f′（n）}$}，n∈N^*的前n項(xiàng)和是$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 f′（x）=x²+x，可得$\frac{1}{f′（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=x²+x，
∴$\frac{1}{f′（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{f′（n）}$}，n∈N^*的前n項(xiàng)和
S=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．